[선형 대수] Basis & Dimension

본 게시물은 네이버 부스트코스 주재걸 교수님의 '인공지능을 위한 선형대수' 강의를 듣고 요약하였습니다. 

 

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Basis & Dimension (기저와 차원)

 

 Subspace 의 Basis는 다음과 같은 조건을 만족한다.

• Fully spans the given subsapce H : subspace H로부터 Fully span 된 상태
• Linearly independent (no redundancy) : 중복을 허용하지 않음.

Subspace Basis

 

 

Change of Basis

: Subspace도 같고, 주어진 점도 같은데 이를 표현하는 기저벡터가 달라졌을 때

 

 

 

Standard Basis Vector

standard basis vector

 

: standard basis vector는 다음과 같은 조건을 만족함

 

 

Dimension of Subspace (Subspace 의 차원)

: Subspace의 차원은 해당 subspace에 존재하는 basis 의 개수로 나타낼 수 있음. (Basis 자체가 바뀌더라도 동일하게 유지가 됨)

 

평면에 대한 Matrix를 Span 의 형태로 나타낼 수 있음.

Column Space of A

 

 

RANK

: 행렬에서 선형 독립인 행 / 열의 최대 개수를 의미함. (즉, 선형 시스템의 차원을 의미한다.)

 

 따라서 행렬이 선형 변환을 나타낼 때는 그 변환의 이미지 (결과 공간)의 차원을 의미하기도 하는데, Rank 자체가 선형 독립인 벡터의 최대 개수를 의미하므로, 앞서 말한 subspace에서의 basis 개수 = rank = subsapce 의 dimension 이 모두 일맥상통한다. 

 

$rank A =  dim (Col A)$

 

→ 행렬 A가 선형 변환을 나타낸다고 할 때, A의 column space 또는 column vector 들이 생성하는 부분 공간의 차원은 A의 column rank 와 같음. (= A의 column vector들 중 선형 독립인 최대 집합의 크기, 즉 basis를 구성하는 벡터 수를 의미함.)